PQ Formel fehlgeschlagen bei Gleichung 4. Grades siehe Rechnung unten ?

Du hast versucht, die quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner zu lösen, richtig?

Wenn du das "von Hand" gemacht hättest (ist in diesem Fall sehr einfach, die pq-Formel bedeutet hier mit Kanonen auf Spatzen zu schießen), hättest du gleich gesehen, woran es liegt!

Wenn man daran Spaß hat, kann man die Aufgabe auch miz zweimaliger Polynomdivision rechnen. Aber eine Bequemlichkeit sollte man sich schon gönnen, da es ja eine Nullstellen berechnung ist: erst mal mit 4 multiplizieren.

1/4x^4 - 2x^2 - 9/4 = 0  | *4
   x^4 - 8x^2 - 9   = 0

Da -9 nur in {3 ; -3} zerfällt, nehmen wir gleich die 3
Linearfaktor (x - 3)
Vorher Lücken für fehlende x-Potenzen lassen!

 (x⁴       - 8x²      - 9): (x - 3) = x³ + 3x² + x + 3
-(x⁴ - 3x³)
________________
       3x³ - 8x²
     -(3x² - 9x²) 
     ___________  
              x²  
            -(x² - 3x)
            _____________
                   3x - 9
                 -(3x - 9)
                 _________
                        0

Man erkennt, dass diesmal -3 eine Lösung ist.
Linearfaktor (x + 3)

 (x³ + 3x² + x + 3) : (x + 3)  = x² + 1
-(x³ + 3x²)
__________________
           + x + 3
           -(x + 3) 
           _______
                 0

Damit kannst du aufhören.
Denn die nächste Rechnung wäre

           x² + 1 = 0  | -1
           x²     = -1

Da du aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kannst, 
sind die restlichen zwei Lösungen nicht reell.

Daher L = {-3 | 3}

Hallo,

die Gleichung die Du lösen musst ist also:

1/4x^4-2x^2-9/4 = 0

Da brauchst Du nichts raten, aber raten ginge auch.

Multiplizieren wir mit 4

Bleibt:

x^4 - 8x² -9 = 0

Das ist ein biquadartische Gleichung, welche man durch Substitution löst.

sagen wir: x² = z

dann wird die Gleichung zu:

z² - 8z - 9 = 0

mit pq- oder Mitternachtsformel erhälst Du:

z1 = = 9 und z2 = -1

diese Werte müssen wir rücksubstituieren:

also z1 = 9 = x² = 9

Wuzel ziehen:

x1 = 3, x2 = -3

für z2 = -1 folgt: x² = -1 , das geht nicht, den Quadratwurzel aus negatibven Zahlen kann man nicht ziehen.

Wir habe eben nur diese 2 Lösungen:

L ={ -3 ; 3 }, die Du schon gefunden hast.

LG,

Heni

Du hast nichts falsch gemacht. Die Funktion hat nur die beiden Bildtelefone (?) +3 und -3.

Mit der Substitutionsregel wärest du da ohne Raten drauf gekommen.

Die Funktion hat nur 2 Nullstellen

 Dafür braucht man keine pq-Formel
Mit 4 multiplizieren
x² + 1 = 0 ∣-1
x² = -1

Und von einer negativen Zahl zieht sich (ohne imaginäre Zahlen) schlecht eine Wurzel.

Wenn man trotzdem die pq-Formel mit p = 0 und q =1 nutzen möchte, erhält man:
√-1 = x2,3
Selbe Problem wie ohne pq-Formel.