Mathematik + Integral + Änderungsrate + fehlender Ansatz

a) s ( t ) = INTEGRAL v ( t ) dt

Die Höhenfunktion h ( t ) ist also das unbestimmte Integral der Höhenänderung v ( t ) nach der Zeit t mit dem Anfangswert h ( t = 0 ) = 520, also:

h ( t ) = INT - 0,12 t ^ 2 +1,2 t dt

= - 0,04 t ^ 3 + 0,6 t ^ 2 + C

mit h ( t = 0 ) = - 0,04 t ^ 3 + 0,6 t ^ 2 + C = 520 <=> C = 520

also:

h ( t ) = - 0,04 t ^ 3 + 0,6 t ^ 2 + 520

b) Die maximale Höhe erreicht der Ballon dort, wo für t > 0 gilt: h ' ( t ) = v ( t ) = 0, wo also keine Höhenzunahme mehr stattfindet, daher:

h ' ( t ) = v ( t ) = 0

<=> - 0,12 t ^ 2 + 1,2 t = 0

<=> t * (1,2 - 0,12 t ) = 0

<=> t = 0 ODER t = 10

Also: Nach t = 10 Minuten erreicht der Ballon seine größte Höhe hmax, diese beträgt

hmax = h ( 10 ) = - 0,04 * 10 ^ 3 + 0,6 10 ^ 2 + 520 = - 40 + 60 + 520 = 540 m

c) Der Ballon befindet sich wieder auf der Starthöhe 520 m, wenn h ( t ) für t > 0 eben wieder diesen Wert annimmt, also:

h ( t ) = 520

<=> - 0,04 t ^ 3 + 0,6 t ^ 2 + 520 = 520

<=> - 0,04 t ^ 3 + 0,6 t ^ 2 = 0

<=> t ² * ( 0,6 - 0,04 t ) = 0

<=> t = 0 ()scheidet aus wegen t > 0 ) ODER 0,6 = 0,04 t

<=> t = 15 min

Hier noch ein Plot der Höhenfunktion h ( t ) für den Fahrtzeitraum 0 bis 16 Minuten:

http://tinyurl.com/c8cfxjp

Ich probier mal dir die a) zu erklären. Dann kriegst du b) und c) vielleicht selbst hin. Falls docht nicht, frag nochmal.

Also die Ableitung einer Funktion in einem Punkt enspricht der Steigung der Funktion in dem Punkt. Also der Änderungsrate in diesem Punkt.

Beispiel eine Funktion, die die Strecke, die ein Läufer zurücklegt, beschreibt: Dann ordnet diese jedem Zeitpunkt eine Entfernung zu. Nun kann es sein, dass der Läufer am Anfang schneller läuft, dann ermüdet und langsamer läuft und vielleicht später nochmal schneller.

Wenn du jetzt die Geschwindigkeit des Läufer zu einem bestimmten Zeitpunkt wissen willst, nimmst du die Ableitung, da dich ja die Änderungsrate interessiert.

In deiner Aufgabe ist es nun genau andersrum, du hast die Geschwindigkeit gegeben (auch wenn sich diese auf die Höhe bezieht, dein Läufer läuft halt nach oben ;)) und möchtest jetzt aber die Funktion haben, die dir die Meter liefer.

Du musst daher quasi die Ableitung umkehren und daher aufleiten.

Ich hab eine Weile überlegt, welche Erklärung wohl die anschaulichste ist, hoffe daher, es ist so verständlich, falls nicht, frag! ;)

• anhand v = dy / dt, berechnet man die Höhenfunktion y(·) durch y = ∫ v dt. Und um die Konstante des Integrals zu bestimmen, betrachtet man y(0) = 520.
• y erreicht einen kritischen Punkt bei t₀, so dass dy/dt = 0 bei t=t₀. Aber dy/dt = v. Also muss man die Gleichung v(t₀) = 0 für t₀ lösen. Mit t₀ festgelegt ist die maximale Höhe entweder y(0) oder y(t₀) – je nach dem, welcher Wert der größte ist.
• Starthöhe = y(0). Zu finden ist der nächste Wert t₁ > 0, so dass y(t₁) = y(0).

Anmerkung: t₁ ist notwendigerweise ≥ t₀.