Limes für asymptotische Gleichheit berechnen?
Hallo!
Ich hänge leider schon länger an diesem Beweis, aber schaffe es leider nicht, den Limes auszurechnen. Gibt es da eine Vorgehensweise? Ich hab schon l‘Hospital überlegt, aber mir fallen die Ableitungen hier leider sehr schwer. Danke schon mal für jede Hilfe!
1 Antwort
Ableitungen brauchst du hier nicht - es reicht, dass mit a > 0 für x -> +unendlich
a^x sehr viel stärker steigt als jede Potenz von x, d. h.
für alle natürlichen n: für x -> +unendlich: a^x / x^n -> +unendlich
bzw. für alle natürlichen n: für x -> +unendlich: x^n / a^x -> 0
(lässt sich abschätzen, wenn man x in x^n durch den nächst höheren ganzzahligen Wert ersetzt und x in a^x durch den nächstniedrigeren)
Außerdem steigt (offensichtlich) a^x^2 sehr viel stärker als a^x für x -> +unendlich
Damit bleiben in Zähler und Nenner von f(x) / g(x) jeweils nur ein Summand übrig.
Was fällt auf, wenn du den Exponenten (x+1)^2 ausmultiplizierst? (Beachte die Potenzgesetze!)