hinreichendes Kriterium, wenn kein x in der 2. Ableitung vorhanden ist?
Hallo :D Ich hab die Funktion -(10/v^2)*x^2+x und soll die Extremstelle bestimmen. Da es eine x^2 Funktion ist weiß man, dass ein HP vorhanden sein muss.
Die 2. Ableitung heißt aber : f''(x) = -2(10/v^2) und ich ab kein x mehr um meine Nullstellen, der ersten Funktion einzusetzen... Was nun? :S :/
wäre echt super, wenn ihr mir weiter helfen könntet <3 :D
7 Antworten
ich ab kein x mehr um meine Nullstellen,
Da ist sehr wohl ein x, nämlich "f´´(x)".
Wenn da steht f''(x) = -2(10/v^2) , dann heißt das halt, dass f''(x) immer gleich -2(10/v^2) ist, egal, was du für x einsetzt. Wäre zB x=25, dann ist eben
f''(25) = -2(10/v^2)
oder wäre x=-3, dann eben:
f''(-1) = -2(10/v^2)
es heißt bloß, dass rechts immer dasselbe steht.
A. ninjaturtle634 ist am nächsten dran, denke ich.
Wenn die zweite Ableitung f'' an allen für f definierten Stimmen negativ ist und f' eine Nullstellen bei x = x0 hat, dann ist das ein hinreichendes Kriterium dafür, dass f bei bei x = x0 ein Maximum hat.
Gegenbeispiel: y = -x², D = {reelle x > 0}. Für diese Funktion ist y'' (konstant und) überall negativ, aber im Definitionsbereich hat y' eine Nullstelle und y kein Maximum.
B. Was hindert dich, zu f''(x) = -20/v² auszumuliplizieren?
Manchmal sind Tippfehler halt fatal, vor allem, wenn ich das "k" von "keine" vergesse. Natürlich war das so gemeint, wie du es korrigierst; danke für's Aufpassen.
Also wenn ich das richtig sehe ist das ja eine Kurvenschar. Und jetzt kannst du ja sehen, dass du für f"(x) mit einem beliebigen Wert also x ∈ R immer einen negativen Wert bekommen wirst (v wird nämlich quadriert). Ich hätte das jetzt so geschrieben: f"(x)<0, x∈R
Damit wäre die hinreichende Bedingung erfüllt und zeigt dass die Kurven der Funktion als Extremstelle immer einen Hochpunkt haben wird.
Ganz allgemein: Wenn kein x mehr in der 2. Ableitung steht, liefert sie für alle x den selben Wert, also auch für Deine(n) Extremstellen-Kandidaten. Dieser Wert ist dann also immer positiv oder immer negativ oder immer 0, also erst recht für den/die Kandidaten, so dass Du das hinreichende Kriterium anwenden kannst.
(Das gleiche gilt dann übertragen auch für die 3. Ableitung bei der Suche nach Wendepunkten.)
Du nimmst auch die 0 stelle der ersten ableitung. Wo die Original funktion ein extremwert hat, hat die ableitung eine 0 stelle.
Mit der 2ten ableitung bestimmst du nur ob es ein lokales minimum oder maximum ist.
y ' hat in dem von dir angegebenen Definitionsbereich D = { reelle x > 0 } keine Nullstelle. Kein Wunder also, dass y kein Maximum im Definitionsbereich D hat.