Fehler in Physik-Olympiade Frage?
Es taucht die folgende Frage in der 2. Runde der Physik-Olympiade 2020 auf:
Die Lösungen sagen die Antwort sei a). Ist es aber nicht b)?, da:
m * v**2/r = G*M*m/r**2
-> v = Wurzel(G*M/r)
und mit r = 2R
v = Wurzel(G*M/2R)
2 Antworten
ich könnte mir vorstellen dass es vielleicht daran liegt dass du von einer kreisbahn ausgehst. es steht aber nirgends dass man sich auf eine kreisbahn beschränken soll (dann wäre das beispiel für eine physik-olympiade nämlich eigentlich doch recht einfach). probiere es mal mit einer ellipse.
ich habe es durchgerechnet und komme in der tat auf a).
die testmasse bewegt sich auf einer ellipse, und zwar so dass sie die oberfläche des planeten gerade nicht berührt. die nächste punkt der umlaufbahn ist also bei r=R. parallel zur oberfläche ist die geschwindigkeit abgesehen vom nächsten punkt noch am entferntesten punkt, dieser liegt also bei r=2R.
für eine ellipse mit brennweite f und große und kleine halbachse a und b gilt
a+f = 2*R
a-f = R
damit a=3R/2 und f=R/2
und gemäß f² = a² - b² gilt damit b=Wurzel(2)*R
Kepler 2 sagt: dA/dt = Pi*a*b/T
da dA=(1/2)*r²*dtheta ist, haben wir an den extramlpunkten r=2R wo dr=0 somit dA/dt = (1/2)*r*v , wobei v= r* dtheta/dt
somit v = 2*Pi*a*b/(r*T)
eingesetzt für r=2R, a=3R/2 und b=Wurzel(2)*R haben wir also schon mal
v= Pi*3*R/ (Wurzel(2)*T)
nehmen wir noch die fomrel für die umlaufzeit
T=2*Pi*a*Wurzel(a/(GM)) = 3*Pi*R*Wurzel(3*R/(2*G*M))
oben eingesetzt also
v = Wurzel( GM/(3*R) ), also lösung a)
Hinweis: Die Bahn des Körpers muß weder eine Kreisbahn noch eine Ellipsenbahn sein, sondern kann auch eine Parabelbahn oder Hyperbelbahn sein.
In deinem Ansatz unterstellst du, dass der Körper auf zwei verschiedenen Kreisbahnen umläuft. Das ist natürlich falsch.
Auch für eine Ellipse würden die gleichen Gleichungen wie für die Kreisbahn gelten, aber für eine Parabel oder Hyperbel sieht das anders aus. Ich vermute, dass es sich um eine Parabelbahn handeln muß, da die Gesamtenergie des Körpers auf der Parabelbahn Null beträgt. Ich habe es aber noch nicht nachgerechnet.
Die Gleichung für die nicht ausgearteten Kegelschnitte findest du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt . Der Scheitel dieser Kegelschnitte muß dann in einem der zur Diskussion stehenden Endpunkte der Bahn des Körpers liegen.
Zusatzinformation: Die Bahnen von Kometen sind Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, wenn man die Gravitation der Sonna als alleinige Kraftwirkung unterstellt. Deshalb haben nicht alle Kometen eine Perodizität.
Ja, so kann man sich täuschen Parabel scheint es, nach einer Abschätzung von mir, auch nicht sein zu können. Man muß ja bloß die Die Energien betrachten.
Verstehe ich gerade nicht. Bahngeschw. eines Planten v = Wurzel(G*M *( 2/r - 1/a)). Für r = 2R und a = 2R ergibt sich bei mit für v die Lösung b. Und die kann es nach meinem Dafürhalten auf Grund der Energieabschätzung nicht sein.
was ist a bei dir? die große halbachse einer ellispse? die ist nicht 2R
Mist Ich habe die Lage des Zentralgestirns im Brennpunkt der Ellipse nicht beachtet. Jetzt darf ich mich ein wenig schämen.
ich habe es im kommentar unter meiner antwort durchgerechnet.
Ja, mein Fehler war mir dann schon klar a = 1,5 R und nicht 2 R .
ohne es gerechnet zu haben, rein aus dem bauchgefühl heraus, hätte ich aber gemeint dass die geschwindigkeit an dieser stelle für eine hyperbel oder parabel größer sein muss als für eine geschlossene bahn, und die gesuchte minimale geschwindigkeit sich daher für eine ellipse mit minimalen bahnabstand R und maximalen abstand 2R ergibt.
aber das bauchgefühl ist nicht immer ein guter ratgeber....