Extremalpunkte untersuchen! -> 0 = Hochpunkt oder Tiefpunkt? (Mathe)

A. Wenn f'(x0) = 0, f''(x0) = 0 und f'''(x0) <> 0 ist, ("<>": ungleich) so ist x0 ein Sattelpunkt.

Beweis:

Wenn f ''' (x0) <> 0 und f'(x0) = 0 ist,

hat f' in seiner Nullstelle f'(x0) ein Extremum ( = diese ist Berührpunkt) ->

f' wechselt in seiner Nullstelle f'(x0) nicht das Vorzeichen ->

x0 ist Sattelpunkt von f.

B. Wenn f ''' (x0) = 0, gibt das nichts her (kann trotzdem ein Sattelpunkt sein, oder aber auch nicht).

Dann ist am einfachsten, die Umgebung der Nullstelle x0 von f'(x) direkt zu untersuchen:

Vorzeichenwechsel von "+" nach "-" -> f hat Maximum;

Vorzeichenwechsel von "-" nach "+" -> f hat Minimum;

kein Vorzeichenwechsel -> f hat Sattelpunkt

Wenn Du den x-Wert errechnet hast, dann prüfe einfach ob die 1.Ableitung an der Stelle (x-0,5) > oder < Null ist. denn der Tangens (Alpha) des Punktes ist ja die 1.Ableitung, also die STEIGUNG der Tangente in diesem Punkt. Ist sie positiv, dann ist der Winkel unter 90 FGrad, also steigt dort die Kurve bis sie den Punkt = Null erreicht, also einen Hoch- oder Scheitelpunkt. Zum Beweis rechnest Du noch die 1.Ableitung am Punkt (x + 0,5). Dort müsste der Tangens negativ sein, denn dort fällt ja die Kurve und der Winkel zur x-Achse ist <90 Grad.

Ist es ein Tiefpunkt, so ist es weben anders herum :-)

Beispiel Funktion f(x) = x^2 Jeder weiß das es ein Tiefpunkt in (0 I 0) ist.

Ableitung: f '(x) = 2x = 0 => x = 0 Also: Extremalstelle bei x = 0 Ob es sich um einen HP oder TP handelt ist unklar daher:

Ableitung 2 f ' ' (x) = 2 > 0 daraus folgt Tiefpunkt

Beispiel Sattelpunkt: g(x) = x^3 Zu Prüfen: Sattelstelle bei x= 0

g ' ' (x) = 6x

einsetzen: g ' ' (0 ) = 0 also: Sattelpunkt.

Du musst überprufen ob dies ein Sattelpunkt ist oder nicht. Wenn es kein Sattelpunkt ist, lieg ein Extrempunkt vor

Bei 0 ist es kein Tief-/Hochpunkt, es existiert keiner.