Eine Frage an alle Mathematiker (e-Zahl, Grenzwert, Limes)?

Das ist die stetige Verzinsung (mit Zinseszins). Stell dir vor du hast 1 Geldstück. Die Bank zahlt jetzt jedes Jahr einen gewissen Zins darauf aus. Wie viel Geld hast du dann nach so und so viel Jahren?

Das kann man berechnen. Aber betrachten wir nun mal eine andere Bank, welche dir den gleichen Zinssatz gibt, aber halbjährlich aufgeteilt (Bank A zahlt z. B. 10 Prozent pro Jahr und Bank B zahlt 5 Prozent nach dem ersten halben Jahr und dann wieder 5 nach dem zweiten). Das kann man wieder berechnen.

Du erhöhst nun immer mehr die Zinsausschüttung (also pro Vierteljahr, pro Monat usw.), reduzierst aber auch immer den Zins so wie oben. Wenn du die Anzahl der Schritte gegen unendlich gehen lässt verzinst du quasi in jedem Moment, also stetige Verzinsung.

Der Betrag, den du nach einem Jahr bei 1 Einsatz und 100 Prozent Zins pro Jahr (aber auf unendliche viele kleine Schritte aufgeteilt) inkl. Zinseszins erhältst konvergiert gegen einen Grenzwert, die eulersche Zahl e. So in etwa, wenn ich es noch richtig in Kopf hab.

In der Natur tritt die Eulersche Zahl dann z. B. beim radioaktiven Zerfall in Form der exp-Funktion auf (das ist ja nur e hoch...). Dort liegt dann quasi eine stetige negative Verzinsung auf. Die Atome können in jedem Moment zerfallen.

Man kommt immer auf solche Funktionen, wenn die Ableitung von etwas proportional zur Menge ist.

N = Anzahl radioaktiver Atome

dN/dt ~ -N(t)

Also je mehr Atome da sind desto mehr zerfallen. Dies ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung und als Lösung erhältst du eine e-Funktion, weil eben die e-Funktion die besondere und nicht-trivial einzigartige Eigenschaft hat, dass...

d(e^x)/dx = e^x ist. Deswegen kommt ihr auch ein besonderer Stellenwert zu, genau so wie ihrer Umkehrfunktion, dem natürlichen Logarithmus mit ln(exp(x)) = x.

Hey oOMasterOo:



e kann nach Leonard Euler auch als Grenzwert einer unendlichen Reihe definiert werden:







Mit freundlichen Grüßen,

Kolja

(1+1/n)^n ist die Formel für die Eulerzahl e^1=e=2,71828..

n=1000 ergibt (1+1/1000)^1000=2,7169...

Die herleitung hat mir vor einigen Tagen "Willy" geschickt.

e^ln((1+1/n)^n))

Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)

also n*ln(1+1/n) mit Rechentrick n=1/(1/n)

1/n mit n → unendlich 1/n=0

ln(1)=0

ergibt den unbestimmtenAusdruck 0/0

nun l´Hospital Regel anwenden

lim f(x)/g(x)=f´(x)/g´(x) x → unendlich

g´(n)=(-1)/n²

f´(n)=(-1)/n²)/(1+1/n)

f´(n)/g´(n)=-1/(-1)=1

e^(ln(1+1/n)^n)=e^1=e=2,71828..

Hinweis: 10^2=100 10^(log(100))=100

also e^(ln(1+1/n)^n)=(1+1/n)^n

radioaktiver Zerfall

(N2-N1)+N(t)*b*(t2-t1) =0 ist das Zerfallsgesetz

es zerfallen (N2-N1) Atome in der Zeit (t2-t1) von der Menge der zerfallsfähigen Atome N(t)

(t2-t1) gegen NULL ergibt

dN+N(t)*b*dt=0

dN/dt=N´(t) ist die 1.te Ableitung

trennen der Veränderlichen

dN=-N(t)*b*dt

dN/N(t)=-b*dt integriert

ln(N(t)=-b*t+C logarithmiert

N(t)=e^(-b*t+C)=e^(-b*t)*e^C mit e^c=No bei t=0

N(t)=No*e^(-b*t) ist die Endformel exponentielle Abnahme der zerfallsfähigen Atome.

No=zerfallsfähige Atomkerne bei t=0 e^(-b*0)=1

b>0 ist die Zerfallskonstante,abhängig vom Material

setzt mal für's n die Zahlen 1,2,3,4,......1000,1001....... ein, dann merkst du, dass die Folgeglieder immer näher an die Zahl e=2,71828.... rangehen;

(1+ 1/1)^1 = 2

(1 + 1/2)² = 2,25

(1 + 1/1000)^1000 = 2,7169

usw

Das ist genau die Bruchfolge, mit der die Eulerzahl e bestimmt wurde!

Damit werden ja auch alle natürlichen Zerfalls- oder Vermehrungsprozesse beschrieben